Quant-Formelsammlung

1 Statistische Grundlagen

Erwartungswert & Varianz

$$\mathbb{E}[X] = \sum_i x_i\, p_i$$$$\text{bzw.}$$$$\mathbb{E}[X] = \int x\, f(x)\, dx$$

$$\operatorname{Var}(X) = \mathbb{E}\big[(X - \mathbb{E}[X])^2\big] = \mathbb{E}[X^2] - \mathbb{E}[X]^2$$

Erklärung: Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Durchschnitt, die Varianz misst die Streuung um diesen Mittelwert. Die Wurzel der Varianz ist die Standardabweichung $\sigma$ – im Trading meist „Volatilität“ genannt.

Wofür: Fundament für alles: Erwartungswert eines Trades (Expectancy), Risikomessung, Sharpe Ratio.

Anwendung: Empirisch: $\hat{\mu} = \frac{1}{n} \sum r_i$ und $\hat{\sigma}^2 = \frac{1}{n-1} \sum (r_i - \hat{\mu})^2$ über Ihre Trade- oder Bar-Returns.

Kovarianz & Korrelation

$$\operatorname{Cov}(X,Y) = \mathbb{E}\big[(X - \mu_X)(Y - \mu_Y)\big]$$$$\rho_{XY} = \frac{\operatorname{Cov}(X,Y)}{\sigma_X\, \sigma_Y} \in [-1,1]$$

Erklärung: Kovarianz misst, ob zwei Variablen gemeinsam schwanken. Die Korrelation normiert das auf $[-1,1]$.

Wofür: Diversifikation (z. B. Index- vs. Gold-Futures), Pairs Trading, Portfolio-Risiko, Feature-Auswahl bei Alphas.

Anwendung: Vorsicht: Korrelation misst nur lineare Zusammenhänge und ist über Zeit instabil. Rolling-Correlation über z. B. 60 Bars rechnen, nicht einmalig über die ganze Historie.

Autokorrelation (ACF)

$$\rho_k = \frac{\operatorname{Cov}(r_t,\, r_{t-k})}{\operatorname{Var}(r_t)}$$

Erklärung: Korrelation einer Zeitreihe mit sich selbst, um $k$ Perioden verschoben.

Wofür: Der direkteste Test auf Vorhersagbarkeit: $\rho_1 > 0$ heißt Momentum auf dieser Frequenz, $\rho_1 < 0$ heißt Mean Reversion. Auf Tick-Ebene ist $\rho_1$ meist negativ (Bid-Ask-Bounce!).

Anwendung: ACF der Returns plotten. Signifikanzgrenze grob $\pm 1{,}96/\sqrt{n}$. Alles außerhalb ist ein potentielles Alpha – oder ein Datenartefakt.

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2 Returns & Volatilität

Simple vs. Log-Returns

$$r_t^{\text{simple}} = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}$$$$r_t^{\text{log}} = \ln\!\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right)$$

Erklärung: Log-Returns sind über Zeit additiv ($\sum r^{\text{log}}$ = Gesamtreturn), Simple Returns sind über Assets additiv (Portfolio-Return = gewichtete Summe).

Anwendung: Für Zeitreihenanalyse, Vola-Schätzung und Modelle: Log-Returns. Für PnL-Rechnung im Portfolio: Simple Returns. Bei Futures mit Punktwert: PnL $=$ Ticks $\times$ Tickwert $\times$ Kontrakte – Returns sind da eher sekundär.

Annualisierung

$$\mu_{\text{ann}} = \mu \cdot N$$$$\sigma_{\text{ann}} = \sigma \cdot \sqrt{N}$$

Erklärung: $N$ = Anzahl Perioden pro Jahr (252 Handelstage, $252 \times 390$ Minuten-Bars etc.). Vola skaliert mit der Wurzel der Zeit – das ist die berühmte Square-Root-of-Time-Rule.

Anwendung: Gilt streng nur bei unkorrelierten Returns. Bei Intraday-Daten mit Autokorrelation und Saisonalität (Open/Close-Vola!) wird die Regel ungenau.

Realized Volatility (HFT-Standard)

$$RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^2$$$$\sigma_t^{\text{realized}} = \sqrt{RV_t}$$

Erklärung: Summe der quadrierten Intraday-Returns (z. B. 5-Minuten-Bars) als Schätzer der Tagesvarianz. Je feiner das Sampling, desto genauer – bis Microstructure Noise (Bid-Ask-Bounce) dominiert.

Wofür: Bester nichtparametrischer Vola-Schätzer aus hochfrequenten Daten. Input für Position Sizing und Vola-Targeting.

Anwendung: Faustregel: 5-Minuten-Sampling als Kompromiss zwischen Genauigkeit und Noise. Bei Tickdaten alternativ Pre-Averaging oder Realized Kernels.

EWMA-Volatilität (RiskMetrics)

$$\sigma_t^2 = \lambda\, \sigma_{t-1}^2 + (1 - \lambda)\, r_{t-1}^2,$$$$\lambda \approx 0{,}94 \text{ (täglich)}$$

Erklärung: Exponentiell gewichteter Vola-Schätzer: neue Returns zählen mehr, alte klingen geometrisch ab.

Wofür: Schnell reagierende Vola-Schätzung für Live-Systeme – rechenbillig, rekursiv, kein Fenster nötig.

Anwendung: Perfekt für einen Risk Guard: ein einziger State-Wert pro Instrument, Update in $O(1)$ pro Bar.

GARCH(1,1)

$$\sigma_t^2 = \omega + \alpha\, \varepsilon_{t-1}^2 + \beta\, \sigma_{t-1}^2$$ $$\text{Langfrist-Varianz: } \bar{\sigma}^2 = \frac{\omega}{1 - \alpha - \beta} \quad (\alpha + \beta < 1)$$

Erklärung: Wie EWMA, aber mit Rückkehr zu einer Langfrist-Vola $\bar{\sigma}$. $\alpha$ = Reaktion auf Schocks, $\beta$ = Persistenz. Modelliert Volatility Clustering: ruhige Phasen bleiben ruhig, wilde bleiben wild.

Wofür: Vola-Forecasting über mehrere Perioden, VaR-Modelle, Regime-Erkennung.

Anwendung: Per Maximum Likelihood fitten (z. B. arch-Package in Python). Typisch: $\alpha \approx 0{,}05$–$0{,}1$, $\beta \approx 0{,}85$–$0{,}92$. Wenn $\alpha + \beta \to 1$: Vola-Schocks sterben kaum ab (IGARCH-Verhalten).

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3 Performance- & Risikokennzahlen

Sharpe Ratio

$$SR = \frac{\mathbb{E}[R_p] - R_f}{\sigma_p}$$$$SR_{\text{ann}} = SR \cdot \sqrt{N}$$

Erklärung: Überschussrendite pro Einheit Risiko. Die Standardwährung, in der Strategien verglichen werden.

Anwendung: Bei Intraday/HFT ist $R_f \approx 0$ vernachlässigbar. Achtung: Sharpe aus Backtests ist fast immer nach oben verzerrt (Selection Bias, Overfitting) – siehe Deflated Sharpe unten. HFT-Strategien haben oft SR $> 3$, dafür begrenzte Kapazität.

Sortino Ratio

$$Sortino = \frac{\mathbb{E}[R_p] - R_f}{\sigma_{\text{down}}},$$$$\sigma_{\text{down}} = \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{r_i < T} (r_i - T)^2}$$

Erklärung: Wie Sharpe, aber nur Downside-Abweichungen unterhalb einer Zielrendite $T$ (meist 0) zählen als Risiko. Upside-Vola wird nicht bestraft.

Wofür: Fairere Bewertung von Strategien mit asymmetrischen Returns (z. B. Trendfolge mit vielen kleinen Verlusten und wenigen großen Gewinnen).

Maximum Drawdown & Calmar

$$DD_t = \frac{P_t - \max_{s \le t} P_s}{\max_{s \le t} P_s}$$$$MDD = \min_t DD_t$$$$Calmar = \frac{R_{\text{ann}}}{|MDD|}$$

Erklärung: Drawdown = aktueller Abstand zum bisherigen Höchststand der Equity-Kurve. MDD ist der schlimmste jemals erlittene Einbruch.

Wofür: Die zentrale Größe bei Konten mit Verlustgrenze: Trailing/EOD-Drawdown-Limits definieren Ihr wahres Risikobudget, nicht die Kontogröße.

Anwendung: Bei Konten mit Verlustgrenze das Position Sizing direkt am verbleibenden Drawdown-Puffer ausrichten, nicht am nominalen Kapital. Circuit Breaker sollte auf Intraday-DD triggern.

Value at Risk (VaR) & Expected Shortfall (CVaR)

$$\operatorname{VaR}_\alpha = -\inf\{x : F_R(x) \ge \alpha\}$$$$\operatorname{ES}_\alpha = -\mathbb{E}\big[R \mid R \le -\operatorname{VaR}_\alpha\big]$$

$$\text{Parametrisch (Normal):} \quad \operatorname{VaR}_\alpha = -(\mu + z_\alpha\, \sigma), \quad z_{0{,}01} \approx -2{,}33$$

Erklärung: VaR: „Mit 99 % Wahrscheinlichkeit verliere ich nicht mehr als X.“ ES/CVaR: der durchschnittliche Verlust in den schlimmsten $\alpha$-Fällen – also was passiert, wenn es knallt.

Wofür: Risikolimits, Kapitalallokation über mehrere Accounts, Stress-Budgets.

Anwendung: ES ist VaR vorzuziehen: kohärentes Risikomaß, subadditiv, sieht Tail-Risiken. Historische Simulation (empirische Quantile der letzten $n$ Returns) ist robuster als die Normalannahme – Futures-Returns haben fette Tails.

Kelly-Kriterium

$$f^* = \frac{p\, b - q}{b} \quad (\text{diskret}, \ q = 1 - p)$$$$f^* = \frac{\mu - r_f}{\sigma^2} \quad (\text{kontinuierlich})$$

Erklärung: Der Einsatzanteil $f^*$ des Kapitals, der das langfristige logarithmische Wachstum maximiert. $p$ = Trefferquote, $b$ = Payoff-Ratio (Gewinn/Verlust).

Wofür: Theoretische Obergrenze fürs Position Sizing.

Anwendung: Niemals Full Kelly traden: Parameterunsicherheit + fette Tails $\Rightarrow$ Half- oder Quarter-Kelly. Bei Konten mit Verlustgrenze ist selbst das oft zu aggressiv – das DD-Limit ist die bindende Nebenbedingung, nicht Kelly.

Probabilistic & Deflated Sharpe Ratio (Bailey/López de Prado)

$$PSR(SR^*) = \Phi\left( \frac{(\widehat{SR} - SR^*)\sqrt{n-1}}{\sqrt{1 - \gamma_3 \widehat{SR} + \frac{\gamma_4 - 1}{4} \widehat{SR}^2}} \right)$$

Erklärung: Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Sharpe über einer Benchmark $SR^*$ liegt – korrigiert um Stichprobenlänge $n$, Schiefe $\gamma_3$ und Kurtosis $\gamma_4$. Die Deflated SR setzt $SR^*$ auf den Sharpe, den man allein durch Testen vieler Strategien per Zufall erwartet.

Wofür: Schutz vor Backtest-Overfitting: Wer 100 Alphas testet, findet garantiert welche mit gutem Sharpe – rein zufällig.

Anwendung: Anzahl der getesteten Strategievarianten ehrlich mitzählen. PSR $> 0{,}95$ als Deployment-Schwelle ist eine solide Konvention.

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4 Portfolio-Theorie

Portfolio-Rendite & -Varianz (Markowitz)

$$R_p = \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\mu}$$$$\sigma_p^2 = \mathbf{w}^\top \boldsymbol{\Sigma}\, \mathbf{w}$$

$$\text{Minimum-Varianz-Gewichte: } \mathbf{w}^* = \frac{\boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{1}}{\mathbf{1}^\top \boldsymbol{\Sigma}^{-1} \mathbf{1}}$$

Erklärung: $\mathbf{w}$ = Gewichtsvektor, $\boldsymbol{\Sigma}$ = Kovarianzmatrix. Portfolio-Risiko ist nicht die Summe der Einzelrisiken – Korrelationen entscheiden.

Wofür: Kapitalallokation über mehrere Alphas/Instrumente/Accounts.

Anwendung: $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ ist bei geschätzten Kovarianzen extrem instabil (Estimation Error wird verstärkt). Praktisch: Shrinkage (Ledoit-Wolf), Risk Parity oder schlicht Vola-Targeting pro Alpha statt voller Optimierung.

CAPM & Beta

$$\mathbb{E}[R_i] = R_f + \beta_i\, (\mathbb{E}[R_m] - R_f)$$$$\beta_i = \frac{\operatorname{Cov}(R_i, R_m)}{\operatorname{Var}(R_m)}$$

Erklärung: Beta misst die Sensitivität eines Assets zur Marktbewegung. Alpha ist per Definition der Return, der nicht durch Beta erklärt wird.

Wofür: Trennung von echtem Alpha und bloßem Markt-Exposure. Eine Long-Strategie auf einen Index-Future mit $\beta \approx 1$ und positivem Return hat evtl. gar kein Alpha.

Anwendung: Strategie-Returns gegen Markt-Returns regressieren: der Achsenabschnitt ist Ihr Alpha, die Steigung Ihr Beta.

Information Ratio

$$IR = \frac{\mathbb{E}[R_p - R_b]}{\sigma(R_p - R_b)} = \frac{\alpha}{\text{Tracking Error}}$$

Erklärung: Sharpe Ratio des aktiven Returns gegen eine Benchmark $R_b$.

Wofür: Vergleich einzelner Alphas gegeneinander; Grundlage des „Fundamental Law of Active Management“: $IR \approx IC \cdot \sqrt{\text{Breadth}}$ – viele kleine unabhängige Wetten schlagen wenige große.

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5 Stochastische Prozesse & Derivate

Geometrische Brownsche Bewegung (GBM)

$$dS_t = \mu\, S_t\, dt + \sigma\, S_t\, dW_t$$$$\Rightarrow$$$$S_t = S_0 \exp\Big[\Big(\mu - \tfrac{\sigma^2}{2}\Big)\, t + \sigma W_t\Big]$$

Erklärung: Das Standardmodell für Preisprozesse: konstante Drift $\mu$, konstante Vola $\sigma$, Zufall über den Wiener-Prozess $W_t$. Der Term $-\sigma^2/2$ ist die Ito-Korrektur.

Wofür: Grundlage von Black-Scholes, Monte-Carlo-Simulationen, synthetischen Preispfaden fürs Backtesting.

Anwendung: Simulation: $S_{t+\Delta} = S_t \exp[(\mu - \sigma^2/2)\Delta + \sigma\sqrt{\Delta}\, Z]$ mit $Z \sim N(0,1)$. Realität weicht ab: Jumps, Vola-Clustering, fette Tails.

Itôs Lemma

$$df(S_t,t) = \left( \frac{\partial f}{\partial t} + \mu S_t \frac{\partial f}{\partial S} + \frac{1}{2} \sigma^2 S_t^2 \frac{\partial^2 f}{\partial S^2} \right) dt + \sigma S_t \frac{\partial f}{\partial S}\, dW_t$$

Erklärung: Die „Kettenregel“ für stochastische Prozesse. Der Zusatzterm mit der zweiten Ableitung existiert, weil $(dW_t)^2 = dt$ – Zufallspfade sind so rau, dass quadratische Terme nicht verschwinden.

Wofür: Herleitung von Black-Scholes, Verständnis von Vola-Drag und Convexity-Effekten (z. B. warum gehebelte ETFs langfristig verlieren).

Black-Scholes-Formel (Call)

$$C = S_0\, \Phi(d_1) - K e^{-rT}\, \Phi(d_2)$$

$$d_1 = \frac{\ln(S_0/K) + (r + \sigma^2/2)T}{\sigma\sqrt{T}},$$$$d_2 = d_1 - \sigma\sqrt{T}$$

Erklärung: Fairer Preis einer europäischen Call-Option unter GBM-Annahme. $\Phi$ = Standardnormalverteilung, $K$ = Strike, $T$ = Restlaufzeit, $r$ = risikofreier Zins.

Wofür: Options-Pricing, aber vor allem: Implied Volatility. Man invertiert die Formel numerisch, um aus Marktpreisen die vom Markt erwartete Vola zu extrahieren (VIX-Logik).

Anwendung: Für Futures-Optionen die Black-76-Variante nutzen: $S_0 \to F e^{-rT}$. Implied Vol von Optionen auf Index- oder Gold-Futures ist ein brauchbares Regime-Signal auch für reine Futures-Trader.

Die Greeks

$$\Delta = \frac{\partial C}{\partial S} = \Phi(d_1)$$$$\Gamma = \frac{\partial^2 C}{\partial S^2} = \frac{\varphi(d_1)}{S_0 \sigma \sqrt{T}}$$

$$\Theta = \frac{\partial C}{\partial t}$$$$\mathcal{V}(\text{Vega}) = \frac{\partial C}{\partial \sigma} = S_0 \varphi(d_1) \sqrt{T}$$$$\rho = \frac{\partial C}{\partial r}$$

Erklärung: Sensitivitäten des Optionspreises: Delta (Preis), Gamma (Krümmung), Theta (Zeitverfall), Vega (Vola), Rho (Zins).

Wofür: Hedging und Risikosteuerung von Optionsbüchern; Gamma-Exposure (GEX) der Market Maker erklärt Intraday-Dynamik in Indizes: hohes positives Dealer-Gamma dämpft Bewegungen, negatives verstärkt sie.

Ornstein-Uhlenbeck-Prozess (Mean Reversion)

$$dX_t = \theta \,(\mu - X_t)\, dt + \sigma \, dW_t$$$$\text{Halbwertszeit: } t_{1/2} = \frac{\ln 2}{\theta}$$

Erklärung: Prozess mit Rückkehrkraft zum Mittelwert $\mu$; $\theta$ bestimmt die Geschwindigkeit.

Wofür: Das Standardmodell für Pairs Trading / Statistical Arbitrage: den Spread zweier kointegrierter Instrumente als OU-Prozess modellieren.

Anwendung: Diskretisiert ist OU eine AR(1)-Regression: $\Delta X_t = a + bX_{t-1} + \varepsilon$ mit $\theta = -b/\Delta t$. Halbwertszeit sagt Ihnen die natürliche Haltedauer des Trades. Entry bei $|X - \mu| > 2\sigma_{\text{eq}}$, Exit am Mittelwert, ist die klassische Bollinger-artige Regel.

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6 Zeitreihen & Ökonometrie

OLS-Regression & t-Statistik

$$\hat{\boldsymbol{\beta}} = (\mathbf{X}^\top \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^\top \mathbf{y}$$$$t_j = \frac{\hat{\beta}_j}{SE(\hat{\beta}_j)}$$

Erklärung: Kleinste-Quadrate-Schätzer für lineare Modelle; die t-Statistik testet, ob ein Koeffizient signifikant von 0 verschieden ist ($|t| > 2$ als Daumenregel).

Wofür: Alpha-Research: Prädiktor gegen Forward-Return regressieren. Hedge-Ratios für Pairs. Faktorzerlegung.

Anwendung: Bei Zeitreihen: Newey-West-Standardfehler wegen Autokorrelation nutzen, sonst sind die t-Stats zu optimistisch. Und: In-Sample-Signifikanz $\neq$ Out-of-Sample-Profit.

ADF-Test / Kointegration (Engle-Granger)

$$\Delta y_t = \alpha + \gamma \, y_{t-1} + \sum_{i=1}^{p} \delta_i \, \Delta y_{t-i} + \varepsilon_t$$$$H_0\colon \gamma = 0 \ (\text{Unit Root})$$

Erklärung: Der Augmented-Dickey-Fuller-Test prüft, ob eine Zeitreihe stationär ist. Kointegration: zwei nichtstationäre Preisreihen, deren Linearkombination (Spread) stationär ist.

Wofür: Voraussetzungscheck für Stat-Arb: Nur kointegrierte Paare haben einen handelbar mean-revertierenden Spread. Korrelation allein reicht nicht.

Anwendung: Engle-Granger: (1) $P_A$ auf $P_B$ regressieren $\to$ Hedge Ratio, (2) ADF auf die Residuen. Kointegration bricht gern im Live-Betrieb – laufend re-testen.

Hurst-Exponent

$$\mathbb{E}\left[\frac{R(n)}{S(n)}\right] \propto n^H$$$$\begin{cases} H < 0{,}5 & \text{mean-reverting} \\ H = 0{,}5 & \text{Random Walk} \\ H > 0{,}5 & \text{trending} \end{cases}$$

Erklärung: Misst die „Gedächtnisstruktur“ einer Zeitreihe über das Skalierungsverhalten der Range $R$ zur Standardabweichung $S$.

Wofür: Regime-Klassifikation: Soll dieses Instrument auf dieser Zeitskala mit Momentum- oder Reversion-Logik gehandelt werden?

Anwendung: Schätzer sind auf kurzen Fenstern verrauscht; eher als grober Kompass über verschiedene Zeitskalen nutzen als als präzises Signal.

Kalman-Filter

$$\begin{aligned} \text{Prediction:} \quad & \hat{x}_{t|t-1} = A\, \hat{x}_{t-1}, \qquad P_{t|t-1} = A P_{t-1} A^\top + Q \\ \text{Update:} \quad & K_t = P_{t|t-1} H^\top (H P_{t|t-1} H^\top + R)^{-1} \\ & \hat{x}_t = \hat{x}_{t|t-1} + K_t \,(z_t - H\, \hat{x}_{t|t-1}) \end{aligned}$$

Erklärung: Rekursiver Bayes-Schätzer für verborgene Zustände unter Rauschen. $K_t$ (Kalman Gain) balanciert Vertrauen in Modell vs. neue Messung $z_t$.

Wofür: Dynamische Hedge Ratios (statt statischer OLS), Glättung von Fair-Value-Schätzungen, adaptives Beta, Tracking des „wahren“ Preises hinter Microstructure Noise.

Anwendung: Für Pairs: State = Hedge Ratio, Beobachtung = Preisrelation. $Q/R$-Verhältnis steuert, wie schnell sich das Ratio anpassen darf.

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7 Market Microstructure & HFT

Mid-Price, Spread & Microprice

$$P^{mid} = \frac{P^{bid} + P^{ask}}{2}$$$$P^{micro} = \frac{Q^{ask}\, P^{bid} + Q^{bid}\, P^{ask}}{Q^{bid} + Q^{ask}}$$

Erklärung: Der Microprice gewichtet mit den gegenüberliegenden Queue-Größen: Liegt viel Volumen im Bid, wird der nächste Move eher nach oben gehen $\Rightarrow$ Microprice liegt näher am Ask.

Wofür: Besserer Fair-Value-Schätzer als der Mid-Price; kurzfristigster Preisprädiktor überhaupt. Kernbaustein jedes Orderbook-Alphas.

Anwendung: Erweiterbar auf mehrere Book-Levels mit Distanzgewichtung. Der Spread $P^{ask} - P^{bid}$ ist gleichzeitig Ihre minimale Round-Trip-Kostenhürde.

Order Book Imbalance (OBI) & Order Flow Imbalance (OFI)

$$OBI_t = \frac{Q_t^{bid} - Q_t^{ask}}{Q_t^{bid} + Q_t^{ask}} \in [-1, 1]$$ $$OFI_t = \sum_{\text{events}} \big[ \Delta Q^{bid}\, \mathbb{1}(\text{bid-side}) - \Delta Q^{ask}\, \mathbb{1}(\text{ask-side}) \big]$$

Erklärung: OBI: statisches Ungleichgewicht der Queues am Top of Book. OFI (Cont et al.): der Fluss – Nettoänderung von Bid-Depth minus Ask-Depth über ein Zeitfenster, inkl. Adds, Cancels und Trades.

Wofür: Zwei der stärksten dokumentierten Kurzfrist-Prädiktoren für Preisbewegungen. OFI erklärt empirisch einen Großteil der Mid-Price-Änderungen linear: $\Delta P \approx \lambda \cdot OFI$.

Anwendung: Aus MBO/MBP-Orderbuchdaten direkt berechenbar. Über mehrere Levels aggregieren und mit Level-Distanz abklingend gewichten. Signal-Halbwertszeit ist auf Tick-Skala kurz – Latenz und Queue-Position entscheiden über Umsetzbarkeit.

Kyle’s Lambda (Preisimpact)

$$\Delta P = \lambda \cdot Q^{net} + \varepsilon$$$$\lambda = \frac{\sigma_v}{2\sigma_u} \ (\text{Kyle-Modell})$$

Erklärung: $\lambda$ misst, wie stark der Preis pro Einheit Netto-Orderflow bewegt wird – die „Preiselastizität“ des Marktes. Im Kyle-Modell ergibt es sich aus Informations- vs. Noise-Trader-Varianz.

Wofür: Impact-Schätzung, Liquiditätsmessung, Erkennung informierter Flows. Hohes $\lambda$ = dünner Markt = teure Execution.

Anwendung: Empirisch: Mid-Price-Änderung auf signierten Volumenfluss regressieren, rolling pro Session. $\lambda$ zweier Märkte zu vergleichen (z. B. Index- vs. Gold-Futures) zeigt Ihnen sofort, wo Ihre Positionsgröße mehr Schaden anrichtet.

Roll-Modell (impliziter Spread)

$$s = 2\sqrt{-\operatorname{Cov}(\Delta P_t,\ \Delta P_{t-1})}$$

Erklärung: Schätzt den effektiven Bid-Ask-Spread allein aus der negativen Autokovarianz der Preisänderungen (Bid-Ask-Bounce erzeugt genau diese).

Wofür: Spread-Schätzung, wenn nur Trade-Daten ohne Quotes vorliegen; Sanity Check der Transaktionskosten.

Amihud-Illiquidität & VPIN

$$ILLIQ = \frac{1}{n} \sum_t \frac{|r_t|}{Vol_t^{\$}}$$$$VPIN = \frac{1}{n} \sum_{\tau} \frac{|V_\tau^{buy} - V_\tau^{sell}|}{V_\tau}$$

Erklärung: Amihud: Preisbewegung pro Dollar Umsatz – je höher, desto illiquider. VPIN (Easley/O’Hara): Anteil toxischen (einseitigen) Flows in Volumen-Buckets.

Wofür: VPIN als Frühwarnsystem für toxische Marktphasen (stieg vor dem Flash Crash 2010 stark an). Ideal als Input für einen Circuit Breaker: bei hohem VPIN Quoting/Trading drosseln.

VWAP & TWAP

$$VWAP = \frac{\sum_i P_i\, V_i}{\sum_i V_i}$$$$TWAP = \frac{1}{n} \sum_i P_i$$

Erklärung: Volumen- bzw. zeitgewichteter Durchschnittspreis über ein Intervall.

Wofür: Execution-Benchmarks: Slippage wird typischerweise als Fill-Preis minus Arrival-Mid oder minus Intervall-VWAP gemessen. Intraday dient VWAP auch als Mean-Reversion-Anker.

Anwendung: Im Execution Cost Model: erwartete Kosten = halber Spread + Impact + Timing-Risiko, gemessen gegen Arrival Price (Implementation Shortfall).

Avellaneda-Stoikov (optimales Market Making)

$$r_t = S_t - q\, \gamma\, \sigma^2 (T - t)$$$$(\text{Reservation Price})$$

$$\delta^{bid} + \delta^{ask} = \gamma \sigma^2 (T - t) + \frac{2}{\gamma} \ln\left(1 + \frac{\gamma}{\kappa}\right)$$$$(\text{optimaler Spread})$$

Erklärung: Der Klassiker des quantitativen Market Making. $q$ = aktuelles Inventar, $\gamma$ = Risikoaversion, $\kappa$ = Orderankunfts-Intensitätsparameter. Kernidee: Das Quote-Zentrum (Reservation Price) verschiebt sich gegen Ihr Inventar – long? Dann quoten Sie tiefer, um abzubauen.

Wofür: Optimale Bid/Ask-Platzierung unter Inventarrisiko; Blaupause für jede Quoting-Logik.

Anwendung: Auch wenn Sie nicht Market Making betreiben: Die Inventar-Penalty-Logik ($-q\gamma\sigma^2$) ist ein sauberes Framework für Positionsabbau – je größer Position, Vola und Restzeit bis Session-Ende, desto aggressiver flatten. Passt konzeptionell direkt zu einem EOD-Flatten-Modul.

Poisson-Orderankunft & Fill-Wahrscheinlichkeit

$$P(N_t = k) = \frac{(\lambda t)^k e^{-\lambda t}}{k!}$$$$\lambda(\delta) = A\, e^{-\kappa \delta}$$

Erklärung: Marktorders treffen näherungsweise poissonverteilt ein; die Fill-Intensität einer Limit Order fällt exponentiell mit ihrer Distanz $\delta$ zum Mid.

Wofür: Modellierung von Fill-Wahrscheinlichkeiten, Queue-Value-Schätzung, Grundlage der A-S-Herleitung.

Anwendung: $A$ und $\kappa$ aus eigenen Fill-Daten oder MBO-Daten kalibrieren. Realität: Ankunftsraten sind selbst stochastisch und clustern (Hawkes-Prozesse als nächste Stufe: $\lambda_t = \mu + \sum_{t_i < t} \alpha e^{-\beta (t - t_i)}$ – selbsterregend, modelliert Order-Kaskaden).

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8 Execution & Transaktionskosten

Square-Root Market Impact Law

$$\Delta P \approx Y\, \sigma \sqrt{\frac{Q}{V}}$$

Erklärung: Empirisch extrem robust über Märkte und Dekaden: Der Impact einer Metaorder der Größe $Q$ wächst mit der Wurzel ihres Anteils am Tagesvolumen $V$, skaliert mit der Tagesvola $\sigma$. $Y \approx 0{,}5$–1.

Wofür: Kostenprognose vor der Order, Kapazitätsschätzung einer Strategie (ab welcher Size frisst der Impact das Alpha?).

Anwendung: Für ein Execution Cost Model: Kosten $\approx \frac{s}{2} + Y\sigma\sqrt{Q/V}$ pro Trade ansetzen und gegen realisierte Slippage kalibrieren.

Almgren-Chriss (optimale Liquidierung)

$$\min_{x(t)}\ \mathbb{E}[\text{Kosten}] + \lambda \operatorname{Var}[\text{Kosten}]$$$$\Rightarrow$$$$x_j = X\, \frac{\sinh\bigl(\kappa (T - t_j)\bigr)}{\sinh(\kappa T)}$$

$$\kappa \approx \sqrt{\frac{\lambda \sigma^2}{\eta}}$$

Erklärung: Optimaler Abbaupfad einer Position $X$ über Horizont $T$: Trade-off zwischen Impact-Kosten (langsam handeln!) und Preisrisiko (schnell handeln!). $\eta$ = temporärer Impact-Koeffizient, $\lambda$ = Risikoaversion. Lösung: exponentiell abfallende Handelsrate.

Wofür: Das Standard-Framework für Execution-Algos (Basis fast aller institutionellen VWAP/IS-Algos).

Anwendung: Hohe Risikoaversion oder hohe Vola $\to$ großes $\kappa$ $\to$ front-loaded (schnell raus). Für kleine Positionsgrößen in liquiden Futures ist Impact minimal – da gewinnt fast immer „sofort raus“.

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9 Wahrscheinlichkeit & Bayes

Satz von Bayes

$$P(H \mid D) = \frac{P(D \mid H)\, P(H)}{P(D)}$$

Erklärung: Update von Überzeugungen mit neuen Daten: Posterior $\propto$ Likelihood $\times$ Prior.

Wofür: Das Denkgerüst hinter Kalman-Filtern, Regime-Wahrscheinlichkeiten, Online-Schätzung von Trefferquoten. Auch: Wie wahrscheinlich ist es, dass ein Alpha echt ist, gegeben sein Backtest und die Base Rate, dass die meisten Backtests overfitted sind?

Zentraler Grenzwertsatz & Gesetz der großen Zahlen

$$\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0, 1)$$$$\bar{X}_n \xrightarrow{a.s.} \mu$$

Erklärung: Summen vieler unabhängiger Zufallsgrößen werden normalverteilt; Mittelwerte konvergieren gegen den Erwartungswert.

Wofür: Warum Edge nur über viele Trades realisiert wird und warum kurze Track Records nichts beweisen. Der Standardfehler des Mittelwerts fällt nur mit $\sqrt{n}$ – für doppelte Präzision brauchen Sie viermal so viele Trades.

Anwendung: Grenzen kennen: Bei fetten Tails (unendliche Varianz) und Abhängigkeiten konvergiert es langsamer oder anders – Finanzreturns sind der Paradefall.

Maximum Likelihood & Log-Likelihood

$$\hat{\theta}_{MLE} = \arg\max_{\theta}\ \sum_{i=1}^{n} \ln f(x_i \mid \theta)$$

Erklärung: Parameter so wählen, dass die beobachteten Daten maximal wahrscheinlich sind.

Wofür: So werden GARCH, OU, Hawkes und praktisch alle parametrischen Modelle gefittet.

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10 Cheat Sheet: Was wofür

• Signal-Research: ACF, OLS + Newey-West, OFI/OBI, Microprice, Hurst
• Vola & Regime: Realized Vol, EWMA, GARCH, VPIN, Implied Vol
• Position Sizing: Kelly (fraktional!), Vola-Targeting, VaR/ES, DD-Budget
• Stat Arb: Kointegration (ADF), OU-Prozess, Kalman-Hedge-Ratio
• Execution: Spread + Square-Root-Impact, Implementation Shortfall, Almgren-Chriss, VWAP
• Market Making / Quoting: Avellaneda-Stoikov, Poisson/Hawkes-Fills, Kyle’s $\lambda$
• Validierung: Sharpe $\to$ PSR/Deflated Sharpe, Out-of-Sample, Walk-Forward

Die wichtigste „Formel“ zum Schluss:

$$\text{Netto-Edge} = \text{Brutto-Alpha} - \text{Spread} - \text{Impact} - \text{Fees} - \text{Slippage}$$

Die meisten Backtests sterben nicht am Alpha, sondern an den vier Subtrahenden.

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