// Mathematik
Diese Seite nennt die Verfahren, auf denen unsere Systeme stehen — und sagt bei jedem, wofür es gut ist und wo es täuscht. Alles davon steht in Lehrbüchern. Was wir daraus bauen, steht nirgends.
// Fundament
Ohne diese Größen gibt es keine Aussage über eine Strategie — nur Meinungen über eine Kurve.
Der Erwartungswert ist der wahrscheinlichkeitsgewichtete Durchschnitt, die Varianz misst die Streuung darum. Die Wurzel der Varianz ist die Standardabweichung — im Handel Volatilität genannt.
Wofür: Fundament für alles Weitere: Erwartungswert eines Trades, Risikomessung, jede Kennzahl.
Misst, ob zwei Größen gemeinsam schwanken, normiert auf −1 bis +1.
Wofür: Zwei Signale, die in Wahrheit dasselbe wetten, sind kein Portfolio. Vorsicht: Korrelation erfasst nur lineare Zusammenhänge und ist über die Zeit instabil — deshalb rollierend rechnen, nie einmalig über die ganze Historie.
Die Korrelation einer Zeitreihe mit sich selbst, um k Perioden verschoben.
Wofür: Der direkteste Test auf Vorhersagbarkeit. Positiv heißt Momentum auf dieser Frequenz, negativ Rückkehr zum Mittel. Falle: Auf Tick-Ebene ist sie fast immer negativ — das ist kein Signal, sondern das Hin und Her zwischen Geld- und Briefkurs.
Logarithmische Renditen addieren sich über die Zeit, einfache Renditen addieren sich über Positionen.
Wofür: Für Zeitreihenanalyse und Volatilitätsschätzung nimmt man Log-Renditen, für Portfolio-Rechnung die einfachen. Wer das vertauscht, rechnet still falsch.
// Volatilität
Volatilität ist keine Konstante. Sie kommt in Wellen, und wer sie als festen Wert behandelt, misst sein Risiko falsch.
Volatilität skaliert mit der Wurzel der Zeit, N ist die Anzahl der Perioden pro Jahr.
Vorsicht: Gilt streng nur bei unkorrelierten Renditen. Innerhalb eines Handelstages, mit Autokorrelation und ruhigeren Mittagsstunden, wird sie ungenau — man darf sie kennen, aber nicht blind anwenden.
Die Summe der quadrierten Renditen innerhalb eines Tages als Schätzer der Tagesvarianz.
Wofür: Der beste voraussetzungsarme Schätzer aus hochfrequenten Daten. Grenze: Je feiner man abtastet, desto genauer — bis das Mikrostruktur-Rauschen überwiegt und die Genauigkeit wieder kippt.
Exponentiell gewichtete Volatilität: Neue Bewegungen zählen mehr, alte klingen ab.
Wofür: Rekursiv, ein einziger Zustandswert je Instrument, konstanter Aufwand pro Bar. Genau deshalb eignet es sich für einen Wächter, der im Live-Betrieb mitlaufen muss.
Wie EWMA, aber mit Rückkehr zu einer langfristigen Volatilität. α ist die Reaktion auf Schocks, β die Trägheit.
Wofür: Beschreibt, was jeder Händler kennt: Ruhige Phasen bleiben ruhig, wilde bleiben wild. Grundlage für Vorhersagen über mehrere Perioden und für Regime-Erkennung.
// Bewertung & Risiko
Überschussrendite je Einheit Risiko. Sortino zählt nur Abweichungen nach unten als Risiko — Aufwärtsschwankungen werden nicht bestraft.
Vorsicht: Ein Sharpe aus einem Rückblick ist fast immer zu hoch. Warum, steht im nächsten Abschnitt.
Der Abstand zum bisherigen Höchststand der Kapitalkurve; der schlimmste davon ist der maximale Drawdown.
Wofür: Bei Konten mit Verlustgrenze ist der verbleibende Drawdown-Puffer das eigentliche Risikobudget — nicht die Kontogröße. Positionsgrößen richten sich danach, nicht am nominalen Kapital.
Der Value at Risk sagt, welche Verlustschwelle selten überschritten wird. Der Expected Shortfall sagt, wie schlimm es wird, wenn sie überschritten wird.
Wofür: Der zweite Wert ist der ehrlichere. Ein Limit, das nur die Schwelle kennt, sagt nichts über den Tag, an dem sie fällt.
Der Kapitalanteil, der das langfristige logarithmische Wachstum maximiert.
Wofür: Als theoretische Obergrenze — und nur so. Voll gesetzt wird Kelly nie: Die Parameter sind geschätzt, die Verteilungsränder sind dicker als angenommen, und bei einer Verlustgrenze ist nicht Kelly die bindende Bedingung, sondern das Limit.
Das Risiko mehrerer Positionen ist nicht die Summe der Einzelrisiken — die Zusammenhänge entscheiden.
Vorsicht: Die Inverse einer geschätzten Kovarianzmatrix verstärkt Schätzfehler massiv. In der Praxis nimmt man Schrumpfungsverfahren, Risikoparität oder schlicht ein Volatilitätsziel je Signal statt einer vollen Optimierung.
// Der wichtigste Teil
Wer hundert Varianten prüft, findet garantiert gute — allein durch Zufall. Dieser Abschnitt ist der Grund, warum bei uns die meisten Kandidaten sterben.
Jeder zusätzliche Test erhöht die Wahrscheinlichkeit, rein zufällig etwas Gutes zu finden. Die Korrektur rechnet die Anzahl der Versuche gegen das Ergebnis auf.
Bedingung: Man muss die Versuche ehrlich mitzählen — auch die verworfenen, auch die von letzter Woche. Wer hier schummelt, betrügt nur sich selbst.
Die Wahrscheinlichkeit, dass der wahre Sharpe über einer Messlatte liegt — korrigiert um Stichprobenlänge, Schiefe und Wölbung der Verteilung. Die Messlatte ist dabei jener Sharpe, den man allein durchs Testen vieler Varianten zufällig erwarten würde.
Wofür: Nach Bailey und López de Prado. Es beantwortet die einzig richtige Frage: Ist das Ergebnis besser als das, was Zufall bei so vielen Versuchen ohnehin liefert?
Ein Test nach White, der die gesamte Suche als Ganzes prüft: Ist der beste gefundene Kandidat besser, als der beste aus reinem Rauschen es wäre?
Wofür: Der Unterschied zwischen „dieses Signal sieht gut aus" und „dieses Signal ist besser als Zufall".
Gesucht wird auf einem Zeitraum, bestätigt auf einem anderen, der beim Suchen unberührt bleibt.
Grenze: Auch dieser Schutz nutzt sich ab. Derselbe Bestätigungszeitraum verliert mit jedem Test an Aussagekraft — deshalb wird mitgezählt, wie oft er schon benutzt wurde.
// Prozesse & Simulation
Kein Modell beschreibt den Markt. Aber ein Modell gibt einen Maßstab, gegen den man messen kann, ob ein Ergebnis bemerkenswert ist.
Das Standardmodell für Preispfade: konstante Drift, konstante Volatilität, Zufall über den Wiener-Prozess.
Wofür: Als Vergleichsmaßstab und zum Erzeugen synthetischer Pfade. Grenze: Die Wirklichkeit hat Sprünge, Volatilitätscluster und dickere Ränder — das Modell ist ein Lineal, keine Landkarte.
Ein Prozess mit Rückstellkraft: Je weiter der Wert vom Mittel weg ist, desto stärker zieht es ihn zurück. θ bestimmt, wie schnell.
Wofür: Das saubere mathematische Bild hinter dem Begriff „Rückkehr zum Mittelwert" — und die Grundlage, um zu prüfen, ob eine Reihe wirklich zurückkehrt oder nur so aussieht.
Die Kettenregel für Zufallspfade. Der Zusatzterm mit der zweiten Ableitung existiert, weil Zufallspfade so rau sind, dass quadratische Terme nicht verschwinden.
Wofür: Erklärt unter anderem, warum Schwankung selbst Rendite kostet — dieselbe Rechnung, aus der auch die Bewertung von Optionen folgt.
Viele erzeugte Pfade statt einer geschlossenen Formel. Die Genauigkeit wächst nur mit der Wurzel der Anzahl.
Wofür: Verteilungen von Ergebnissen statt einer einzelnen Zahl — insbesondere für die Frage, wie tief ein Drawdown allein durch Zufall werden kann.
// Mikrostruktur & Ausführung
Diese Größen entscheiden darüber, ob eine Idee im Betrieb überlebt — und sie fehlen in den meisten Rückrechnungen.
Der Abstand zwischen Kauf- und Verkaufskurs. Wer sofort handeln will, zahlt ihn.
Wofür: Auf feinen Zeitebenen ist die Spanne oft größer als der erwartete Vorteil. Dann ist die Idee mathematisch richtig und wirtschaftlich tot.
Die Differenz zwischen dem Kurs, bei dem entschieden wurde, und dem, zu dem tatsächlich gehandelt wurde.
Wofür: Sie gehört in die Rechnung, nicht in die Fußnote. Ein System, das ohne sie geprüft wurde, ist nicht geprüft.
Die eigene Order bewegt den Preis. Der Zusammenhang ist nicht linear, sondern flacht ab — typischerweise wurzelförmig.
Wofür: Sie begrenzt die Kapazität einer Strategie. Ein Verfahren, das mit kleinem Einsatz funktioniert, muss mit großem nicht funktionieren.
Der Satz von Bayes: Wie sich eine Einschätzung ändern muss, wenn eine neue Beobachtung hinzukommt.
Wofür: Die saubere Form der Frage, die jeder stellt: Wie viel darf ich auf diese eine Beobachtung geben, wenn ich weiß, wie selten sie ohnehin auftritt?
Über Verfahren sprechen wir offen — auch über die, die bei uns durchgefallen sind.
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